TEOREMA DE THALES Y SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Geometría
 
1.TEOREMA DE THALES

Si se cortan varias rectas paralelas por dos rectas transversales, la razón de dos segmentos cualesquiera de una de ellas es igual a la razón de los correspondientes de la otra.

En el ejemplo que se presenta con el simulador: se dan tres rectas paralelas cortadas por dos secantes r y s. Puede comprobarse en todo momento  el valor que alcanzan los segmentos determinados en estas dos rectas y sus cocientes,  verificándose algunas igualdades.

: 1.- Observa en la escena cómo se cumple en todo momento que:

2.- Mueve los extremos   A, A', C y C' y mira si cambian los valores de los cocientes. 

3.- Mueve también la paralela central arrastrando el punto rojo con el ratón y verás cómo varía cada uno de los cocientes. 

 &4.- Realiza el siguiente esquema en la carpeta copiando el enunciado del Teorema de Thales y remarcando la proporcionalidad de los segmentos.

& EJERCITACIÓN 1

Completa la ejercitación averiguando la biografía de Thales (Tales) de Mileto: en qué época vivió, a qué se dedicó, cuál era su relación con Pitágoras, cuáles son sus principales teoremas y todo aquello que te parezca anecdótico.

2. Consecuencia del teorema de THales
Si en la escena anterior se hacen coincidir los puntos A y A´ de manera que formen triángulo con C y C´, el teorema de Tales se sigue cumpliendo y, además, puede concluirse que: Toda paralela a un lado de un triángulo que corta a los otros dos, determina sobre éstos segmentos proporcionales. En la escena Descartes en el triángulo ABC se traza una paralela al lado BC que pasa por D y E y determina segmentos que son proporcionales porque sus cocientes son iguales.

 :&5.- Pulsa el botón Inicio y dibuja en tu cuaderno un triángulo idéntico al de la escena, traza la paralela al lado BC y comprueba las medidas y sus cocientes. Constata cómo si desplazas los puntos B y C horizontalmente el valor de los cocientes no varía, sin embargo sí varía al desplazar la recta.

6.- Mueve la recta por encima del vértice A y verás que sigue cumpliéndose la proporcionalidad de esos segmentos. Pasará igual si la arrastras por debajo de B y C.

Presta atención como están determinados estos segmentos.

3. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los triángulos ABC Y A'B'C' son semejantes se verifica que los ángulos A=A', B=B' y C=C', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA=r, llamada razón de semejanza. 

:7.- En la escena  modifica la forma y el tamaño del triángulo verde y observa como varía el trián-gulo azul, semejante al primero.

8.- Si los lados del triángulo azul fueran 3, 4 y 5 ¿Qué valor tendrían los del rojo?

9.-Varía la razón de semejanza hasta valer 1 y mira que los  triángulos son idénticos en forma y tamaño. 

 

10.-Disminuye la razón hasta 0.5 y compara ambos triángulos ¿Cómo son ahora los lados del triángulo azul si los del rojo fueran 3, 5 y 7?

& EJERCITACIÓN 2

4. SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales y sus lados proporcionales; es decir, si los polígonos ABCDE Y A'B'C'D'E' son semejantes se verifica que los ángulos: A=A', B=B', C=C', D=D' y E=E', y los cocientes A'B'/AB=B'C'/BC=C'D'/CD=D'E'/DE=E'A'/EA=r, llamada razón de semejanza. 
:11.- En la escena Descartes modifica la forma y el tamaño del pentágono verde y observa como varía el pentágono azul, semejante al primero. Si los lados del pentágono azul fueran 3, 4, 4, 6 y 6.5 ¿Qué
valor tendrían los del rojo?

12.- Varía la razón de semejanza a 1 y mira que los pentágonos son idénticos en forma y tamaño. Aumenta la razón a 2 y compara ambos pentágonos ¿Cómo son ahora los lados del pentágonos azul si los del rojo fueran 3, 5, 6, 8 y 7?

13.- Repite la operación para razones 2, 3 y 0.25 En este último caso cambia la escala a 16 para poder ver ambos pentágonos.

14.- ¿Dos pentágonos iguales, serían semejantes? ¿Y dos pentágonos regulares? Si dos pentágonos tienen iguales sus ángulos ¿son semejantes? Si dos pentágonos tienen sus lados proporcionales ¿son semejantes?